1951年，Arrow证明了不存在完美的选举机制，使其满足五个基本公理，换句话说，如果有人声称其设计了完美的民主投票机制，那么这要么是独裁政权，要么投票人都是无法判断基本优劣的疯子与弱智。

1973年，Gibbard证明了投票里不存在所有人都讲真话的可能性，既永远会被人操纵，永远会有投票人受到制度性压迫。

1979年，Green和Lafont证明了任何公共资源的分配，不管你使用什么机制，你永远无法同时做到：公共资源不浪费，政府没有额外支出，人人表达真实需求，人人自由参与或退出分配决策。

1983年，Myerson和Saterthwaite更是彻底击破所有模型，当我们承认并接受了上述三个铁律之后，转而只进行双人间的私人资源交换，我们也仍然无法同时保证：没有资源错配，不虚空印钱，双方不是疯子与弱智，双方都说真话。

这些定理已经充分证明了，在群居社会中，一切对于资源分配的商讨，都充斥着牺牲，妥协与强权支配。不存在一种规则，能够保障自由、效率与真实表达，能够不陷入牺牲与扭曲，不陷入多数人对少数人的压迫，强者的剥夺，弱者的苟且，理智的崩溃，对声音的压制，对需求的忽视，对道德底线的突破，即使世界就剩下两个人，他们之间也充斥着隐瞒与欺骗，有着宁可双输也不合作的最后疯狂。从远古时期到现代社会，我们增加的只是对血腥掠夺与欺骗的粉饰技巧，其残忍残酷的底色从来没有改变。很多人幻想的那种优雅，高级，博爱，兼容，详尽，周密的制度，是完全没有任何可能存在的，not even close，这是自人类存在那天起就构建完成的逻辑牢笼

所以这种时候有人再谈民主，就填补了文科生没有永动机的空白

为什么总有人复读不纯白就要纯黑？一股文科生味儿大的熏人。但是没关系，给傻卵科普也是有乐趣的。下面我就来证明为什么幻想我在“非黑即白”的人是可笑而可悲的。

这是给本科级实分析课程也没上过的人的省流（如果你完全依赖这里的话来理解全文，不用怀疑，你恰好是你所幻想过最愚昧最麻木最碌碌无为的芸芸众生中的典型代表，所有那些有冲击力的，值得赞叹的，令人折服的美好都与你无缘，你注定是被人牵着鼻子走的绵羊）：由于理想公理体系的相互冲突，因此不存在一个能够被所有人都承认的全局指标，来衡量制度的好坏。任何对于制度优劣的排序，都是在引用外部指标和傲慢地自定义权重，即服从于某权威，或者自己来当这个权威，也就是使用独裁来确定民主，是愚蠢可笑的。

换言之，当你问出：达不到100分，就去考30分的时候，你已经对体制进行了从0到100的定义和排序，然而现实是你无法进行这个步骤，你以为你在面对一个尺子，刻度上画满了不同的分配方案，最右端就是终极完美民主，然而实际上完美民主是天堂，而你在人间，人间的所有人，都没有能力，也没有资格宣称他距离天堂更近，更没有资格认为别人距离天堂更远，事实上，天堂并不存在，距离更无从谈起。

接下来是民科级证明：

设 F 是所有可实施制度（投票，治理，资源分配）的集合，它是feasible的。 设一个违背指标 v : F \rightarrow\left[ 0,1 \right]^{n} , v_{i}(M)\geq0 , 代表机制M在公理 A_{i} 上的违背程度, 0代表完全合规，1代表完全违背公理。并且理想机制M’有 v(M')=0, M'\notin F

设完美民主满足五条公理，记为A1....A5，那么显然n=5。

证明 pareto total order不存在：
首先定义 pareto partial order为， 在 F 上， M_{1}\preceq M_{2}\Leftrightarrow v_{1}(M_{1})\preceq v_{2}(M_{1}) \forall i,并且对至少一个i严格成立 ，显然 \preceq 传递，反身但是不完备，常有 M\preceq N , N\preceq M 同时不成立，因此无法从partial 比如M=(0.5,1,1,1,1), N=(1,0.5,1,1,1),即制度对比中大量存在不可比。

2. 全局打分完全是外生选择：

既然直接比较向量不可取（当然TMD不可取），假设有人想构建一个全局指标 U ：F\rightarrow\mathbb{R} ，将向量压缩为一个实数值，

那么U应该满足：1.严格pareto consistent， 若 v(M)\leq v(N)\forall i,并且至少对于一个i严格小于 ，则U(M) < U(N); 2.对称性， 若对 v_{i} 之间顺序进行调换，U(M)不变； 3.连续性， 若 M_{n}\rightarrow M,则U(M_{n})\rightarrow U(M)

由于U只通过v作用于制度，可以写作 U = \Phi \circ v,其中\Phi ： \left[ 0,1 \right]^{5}\rightarrow \mathbb {R},应当是连续，并且在各项上都严格单调，同样对称

容易证明，满足上述条件的 \Phi 有无穷多个（比如p-norm），即从五公理出发无法选定唯一的压缩函数，如果你选取其中之一，等于将你的个人偏好与权重强加在所有人头上，即独裁。

3. 那我直接定义距离理想点的距离为打分函数呢？

使用之前的M', 由于F不包含M', 我们需要设一个更大的空间F'同时包含F和M', 给F'分配一个metric \rho ，使其在 \mathbb{R}^{n}上 的norm有 \rho(M,M')=|| v(M)-v(M') ||=||v(M)||, 因为v(M')=0那么在 \mathbb{R}^{n} 上其必须满足单调性，对称性与连续性（同上）

同样可以证明，满足上述三个条件的norm有无穷多个，并且不同norm下的total preorder并不一致。仍然以p-norm 为例

||x||_{p}=(\sum_{1}^{n}|x_{i}^{p}|)^{1/p},1\leq p <\infty ，p是一种调整metric的参数，p=1代表我加总所有违背程度，p=无穷大代表我只看违背程度最高值

令v(M)=(0.2, 0.2, 0.2, 0.2, 0.2), v(N)=(0.8, 0, 0, 0, 0),即M是一种兼容性体制，而N更极端，完全放弃了A1公理来追求其余四个。则 ||v(M)||=5x^{1/p}\cdot 0.2, ||v(N)||=0.8,易得p_{0}=\frac{ln5}{ln4}\approx 1.16

则当p小于1.16时，||v(M)||>||v(N)||，M距离M'更远，N是更好的体制；当p大于1.16时，M是更好的体制。

因此即使你抽象意义上的使用“距离完美体制的距离”来作为衡量标准，完全符合基本数学要求的metric仍然有无穷多个，并且随着metric参数的调整，很容易得出截然不同的体制优劣结论，换言之，制度优劣完全取决于我提供的算式的方法，谁掌握了对算法的定义权，谁就能完全决定谁的制度更先进。

4.从必要性到充分性的推广

接下来我们证明在全体metric group下，也不存在能够满足五个公理的被选出的唯一内生metric \rho ' ，使其满足：1.连续，对称，单调；2.对于所有的M,N \in F，都能给出唯一的比较结果； 3. \rho ' 没有任何外生变量。

再次回到\rho (\cdot)上，当将\rho 一般化时，我们需要额外增加理性公设，比如可聚合，可分解，正齐次等等，使我们可以直接讨论norm而不是metric，因为minkowski+齐次\rightarrow norm，而norm+置换不变与绝对值不变\rightarrowsymmetric gauge norm，这也是我们讨论的目标，否则你强行定义的metric将出现很多可笑的反事实。

那么对于symmetric gauge norm，我们可以对其进行降序重排，记为 x^{\downarrow} ,那么我们有weak majorization: x\preceq y\Leftrightarrow S_{k}(x)\leq S_{k}(y) \forall k =1,2,...n,其中S_k (x)=\sum_{1}^{k}{x_{i}^{\downarrow}}

根据HLP majorization theory，弱主序能够给出所有symmetric gauge norm的单调性，那么当 x,y \in \mathbb R^n在弱主序下不可比 (即既非x\preceq y也非y \preceq x) ,则存在两个symmetric gauge norm 使得 ||x||_A<||y||_A ,||x||_B>||y||_B .

证明：不可比意味着存在k,l 属于{1,...n}使得 S_{k}(x)< S_{k}(y)， S_{l}(x)> S_{l}(y) ,因此只需取 ||\cdot||_A :=||\cdot||_{(k)}, ||\cdot||_B :=||\cdot||_{(l)} ，显然二者都为Ky Fan norm，因此属于symmetric gauge norm，带入原命题即可得到结论。

总结：我们希望内生选出一个唯一metric（对应于某个symmetric gauge norm），使其对于任何x，y都能给出与其他对称norm一致的排序结果，但是我们发现只要x，y是不可比的，比如第三步最后的数值例子，我们都能找到完全符合要求且同等类型的对称norm给出相反的排序，因此这个目标无法实现，如果你声称实现了，那么我就能构建出另一个提供相反排序的结果来打破一致性。

5.最后的挣扎，我只在局部小范围内寻找衡量制度的办法并鉴别优劣总可以吧？

回到我们对partial order的定义，制度向量中会出现大量不可比，而在寻找局部最优的过程中，是一定要有邻域的，当有邻域之后，我们仍然需要一个total preorder来从中鉴别最优点，因为假如M点是局部最优，说明不存在N使得U(N)>U(M)在给定邻域内，此时U函数依赖total preorder来定义。如果你坚持使用partial order来定义U( ),则会出现无数多的不可比在邻域内，局部最优仍然无法成立。

最终结论，我们的终极目标是量化制度的价值，因此当定义了制度向量之后，首先尝试直接对v进行排序，失败；接下来尝试将v压缩为实数然后排序，发现映射路径有无穷多，没有意义；那如果我把完美制度考虑进去呢，看看“离民主的距离”是不是个好想法，证明结果显示此时不仅有无穷多个映射，不同映射方法下的排序也会截然不同；然后我证明了对于任意有意义的metric形式，我们都无法找到唯一的，一致的排序方法，因为永远可以举出反例；最终如果你放弃全局衡量，仅思考在现状附近的最优解（比如最适合现在中国的体制等等），就发现这个问题仍然无解，仍然充斥着大量无法比较的情形，处理他们的唯一办法是外生权重与指标，就是将自己主观价值强加于其他人至上，而试图通过民主投票来决定主流价值观的后果已经通过全文最开头的定理们得到了解释。

所以不要再说什么30分60分，吃包子吃屎，有钱人乞丐了，充斥着傲慢与妄想的嘴巴背后是空洞的大脑，试图观测世界却蒙着双眼，这也是这群人可悲的来源